Vielen Dank an AnyDesk für die Unterstützung von PBS. Dies ist ein Problem, das die gesamte Idee der Unendlichkeit zum Scheitern bringen kann. Es beginnt mit einer Vase und unendlich vielen nummerierten Kugeln. Lasst uns eine Minute vor Mittag beginnen. Ich habe die Kugeln 1 bis 10 in die Vase gelegt. Dann nehme ich Kugel Nummer 1 heraus. 30 Sekunden vor Mittag werden die Kugeln 11 bis 20 eingeworfen und ich nehme Kugel Nummer 2 heraus. 15 Sekunden später, auf halbem Weg zum Mittag, gehen die Kugeln 21 bis 30 rein, Kugel Nummer 3 raus. Wir gehen immer weiter, jeder Schritt halb so lang wie der vorherige, für immer. Wie viele Kugeln befinden sich genau um 12 Uhr mittags in der Vase, nachdem unendlich viele Schritte unternommen wurden, in denen jeweils 10 Kugeln hinzugefügt und 1 Kugel entfernt wurde? Die Antwort ist unendlich und gleichzeitig null. Beide Aussagen sind gleichzeitig richtig. Dies ist ein Video darüber, warum Unendlichkeit nicht das bedeutet, was wir denken, und was passiert, wenn unser Gehirn versucht, mehr als alles zu verstehen. [Musik] Hey ihr Schlaumeier, hier ist Joe. Wie lange dauert es, bis die Unendlichkeit eintritt? Diese Frage klingt irgendwie lächerlich. Zum Beispiel, wenn man ChatGPT bittet, Vsauce zu imitieren . [Musik] Das kann ich nie tun. Um das zu beweisen, stellen Sie sich einfach vor, Sie gehen durch einen Raum. Zuerst muss man die Hälfte des Raumes durchqueren, dann die Hälfte des verbleibenden Teils und dann noch einmal die Hälfte davon. Unendlich viele Schritte, jeder Schritt halb so nah am Ziel, aber nie dort angekommen. Und doch stehe ich hier, auf der anderen Seite des Raumes. Dieses Problem wurde bereits vor 2500 Jahren von dem griechischen Philosophen Zenon formuliert . Er wollte beweisen, dass Bewegung unmöglich ist, was wir natürlich für absurd halten, da sie offensichtlich möglich ist. Sehen. Zeno hatte Recht mit seiner Annahme, dass es unendlich viele Schritte gibt, aber er irrte sich in der Annahme, dass diese zusammen unendlich viel Zeit ergeben. Sehen Sie, wenn jeder Schritt schnell genug immer kürzer wird, können unendlich viele Dinge in endlicher Zeit erledigt werden. Eine halbe Minute plus eine Viertelminute plus eine Achtelminute, und so weiter, endlos. Das ergibt genau 1 Minute. Unendlich viele Schritte, endliche Zeit. Und unendlich viele Operationen innerhalb eines endlichen Zeitfensters auszuführen, das nennen Mathematiker eine Superaufgabe. Eine Superaufgabe kann man nicht mit den eigenen Händen bewältigen, aber die Mathematik funktioniert. Und diese Mathematik zwingt uns dazu, einige ziemlich seltsame Fragen darüber zu stellen, wie sich Unendlichkeit von, nun ja , Nicht-Unendlichkeit unterscheidet. Wenn man Superaufgaben ernst nimmt, offenbart die Unendlichkeit einige zutiefst seltsame Dinge. Nehmen wir an, Sie betreiben ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, und jedes einzelne Zimmer ist belegt. Ein neuer Gast erscheint an der Rezeption. Anstatt ihnen mitzuteilen, dass kein Zimmer frei ist, bitten Sie einfach den Gast in Zimmer eins, in Zimmer zwei umzuziehen, dann den Gast in Zimmer zwei in Zimmer drei und so weiter, immer und immer wieder. Zimmer eins ist jetzt frei. Das Hotel ist noch komplett ausgebucht, aber Sie haben trotzdem [Musik] einen Gast hinzugefügt. Die Räume stellen eine unendliche Menge dar. Man kann etwas hinzufügen, ohne die Größe des Ganzen zu verändern, und beides ist weiterhin unendlich. Das klingt lächerlich, [Musik] aber das ist kein Rechenfehler . Was passiert also, wenn 10 Gäste ankommen? Sie müssen sich nicht anstrengen, Sie müssen nur die Gegensprechanlage benutzen und jeden Gast bitten, in das Zimmer umzuziehen, das 10 Nummern höher liegt als sein eigenes. Von Zimmer eins bis elf, von Zimmer zwei bis Zimmer zwölf und so weiter endlos den Flur mit den unendlich vielen Zimmern entlang. Doch nun sind die Zimmer eins bis zehn leer, alle zehn neuen Gäste bekommen ein Bett, und das Hotel ist nach wie vor komplett ausgebucht . Was wäre also, wenn ein unendlich langer Bus mit unendlich vielen Gästen ankäme? Etwas kniffliger, aber auch dafür gibt es einen Trick . Bitten Sie einfach alle derzeitigen Gäste, in ein Zimmer umzuziehen, das doppelt so viele Zimmernummern hat wie ihre jetzigen. Zimmer eins geht zu Zimmer zwei, Zimmer zwei zu Zimmer vier, Zimmer drei zu Zimmer sechs und so weiter. Nun sind alle ungeraden Zimmernummern im gesamten unendlichen Hotel leer. Und da es unendlich viele ungerade Zahlen gibt, erhält jeder Fahrgast im unendlichen Bus ein [Musik-]Zimmer. Wir haben die Unendlichkeit in die Unendlichkeit gepackt. Nehmen wir nun an, dass sich in jedem dieser unendlich vielen Räume eine Lampe befindet. Eine Minute vor Mittag schalten Sie den Schalter ein. 30 Sekunden vor Mittag, Lampe aus. 15 Sekunden vor Mittag, wieder an . Die Überschläge verdoppeln sich im Tempo für immer. Wir betätigen den Schalter unzählige Male, bevor es Mittag wird. Ist die Lampe also genau um zwölf Uhr mittags an oder aus? Es gibt keine richtige Antwort. Nicht etwa, weil wir die Lösung noch nicht gefunden hätten, sondern weil es buchstäblich keine Antwort gibt. Wenn wir Mittag erreichen, hört es weder auf noch hört es auf. Es hört einfach auf. Das ist einer der Gründe, warum Supertasks so seltsam sind. Sie können ohne endgültigen Endzustand enden. Bei solchen Problemen werden Ideen eingeführt, die schwer zu akzeptieren sind, weil sie nicht mit unseren Erfahrungen in der realen Welt übereinstimmen, aber mathematisch gesehen sind sie trotzdem genauso wahr. Unendlichkeit ist nicht einheitlich, und manche Unendlichkeiten sind größer als andere. Die Zahlen lassen sich unendlich fortsetzen. 1 2 3 4, [Musik] usw. Und die Brüche gehen auch unendlich weiter. Wir können aber jedem Bruch eine ganze Zahl zuordnen, sodass in keiner der beiden Mengen etwas übrig bleibt. [Musik] Also, diese Unendlichkeiten sind gleich groß. Aber so funktionieren Dezimalzahlen in der Musik nicht . Es gibt zu viele von ihnen, als dass sie dieser Unendlichkeit gerecht werden könnten. In den 1870er Jahren bewies der Mathematiker Georg Cantor dies. Und seine Argumentation ist elegant. Angenommen, Sie behaupten, eine vollständige Liste aller Dezimalzahlen zu besitzen. Dieser hier , dieser hier und so weiter. Wir können versuchen, jeder Dezimalzahl eine ganze Zahl zuzuordnen. Aber ich kann immer eine Dezimalzahl finden, die nicht auf Ihrer Liste steht. Nimm die erste Ziffer deiner ersten Zahl und ändere sie. Nimm die zweite Ziffer deiner zweiten Zahl und ändere sie. Die dritte Ziffer der dritten, [Musik] und so weiter. Die von mir erstellte Dezimalzahl unterscheidet sich von jeder Zahl auf Ihrer Liste an mindestens einer Ziffernposition. Ihre vollständige [Musik-]Liste der Dezimalzahlen ist also doch nicht so vollständig. Cantor zeigte, dass man zu jeder Unendlichkeit, die man betrachtet, immer eine größere konstruieren kann . Die Dezimalunendlichkeit ist größer als die ganzzahlige Unendlichkeit, [Musik] aber es gibt auch eine Unendlichkeit, die noch größer ist, und noch eine, die noch größer ist . Die Leiter der Unendlichkeiten reicht unendlich weiter bergauf. [Musik] Infinity bricht auch die Arithmetik auf eine Weise, die mich ehrlich gesagt etwas stört. Betrachten wir diese unendliche Reihe. 1 – 1 + 1 – 1 + 1, und so weiter. Was ist das gleichzusetzen? Wenn man die Terme auf eine bestimmte Weise gruppiert, erhält man null. Aber wenn man von einer anderen Gruppierung ausgeht, erhält man eine. Wir können die mathematischen Gleichungen sogar auf eine andere Weise umstellen. Subtrahieren wir diese Reihe von [Musik] eins. Wendet man einfache Algebra an, um die Gleichung umzuordnen, erhält man als Ergebnis 1/2. Das ist eine ebenso gültige Antwort, aber bei bestimmten unendlichen Summen ändert die Reihenfolge, in der wir die Dinge addieren, das Ergebnis, was uns wieder zu der Vase zurückbringt. Dieses Gedankenexperiment wurde ursprünglich von den Mathematikern John Littlewood und Sheldon Ross entwickelt. Es ist als Ross-Littlewood-Paradoxon bekannt. Und das ist ein Paradoxon, weil zwei völlig richtige Argumentationsketten zu völlig gegensätzlichen Antworten führen können. Denken Sie daran, dass wir bei jedem Schritt 10 Kugeln hinzufügen und eine entfernen. Und jeder Schritt wird in der Hälfte der Zeit erledigt, die der vorherige benötigt. Ein Nettogewinn pro Schritt von neun Bällen. Nach 10 Schritten sind es also ungefähr 90 Bälle. Nach 100 Schritten sind es 900. Wenn man das über unendlich viele Schritte fortsetzt, ist die Anzahl der Kugeln in der Vase unendlich. Vielleicht ist die Vase aber auch einfach leer. Welche Kugeln befinden sich mittags in der Vase? Nehmen wir einfach irgendeinen Ball. Äh, Ball 47. Der wurde in Schritt fünf reingeworfen und kam in Schritt 47 wieder raus. Ball eins blieb in Schritt eins übrig. Ball 1000 verbleibt in Schritt 1000. Nennen Sie mir einen beliebigen Ball, und ich kann Ihnen den genauen Schritt [Musik] nennen, bei dem er entfernt wurde. So, mittags, nach unzähligen Schritten, befindet sich kein Ball mehr in der Vase, der nicht irgendwann herausgenommen wurde. Aber nehmen wir an, anstatt die Kugel mit der niedrigsten Nummer zu entfernen, wechsle ich in jedem Schritt die Kugel, die ich herausnehme. Gleiches Spiel. 10 Bälle rein, ein Ball raus. Aber jetzt entferne ich nicht wie im ersten Schritt die erste Kugel, sondern die zehnte. Die letzte, die ich gerade erst hinzugefügt habe. Im zweiten Schritt werden die Bälle 11 bis 20 eingeworfen , Ball 11 wird wieder ausgeworfen. Schritt drei, die Bälle 21 bis 30 sind drin, Ball 12 ist draußen. Und so weiter . Welche Bälle sind nun um 12 Uhr mittags noch übrig? Ball 10 wurde im ersten Schritt entfernt. Ball 11 in Schritt zwei. Alle nachfolgenden Bälle werden in einem späteren Schritt herausgezogen, außer den Bällen eins bis neun. Niemand berührt sie jemals. Es gibt keinen Schritt, in dem sie entfernt werden. Um 12 Uhr mittags sind noch genau neun Bälle im Spiel. Wir haben den gleichen Prozess im gleichen Tempo durchgeführt. Bei jedem Schritt 10 rein, einer raus . Aber indem ich ändere, welche Kugeln ich entferne, ging die Antwort von [Musik] unendlich über null auf neun. Die Vase hat keine eindeutige Antwort, denn die Antwort ist das, was der Prozess vorgibt . Alle diese Argumente sind logisch schlüssig . Das Geheimnis besteht darin, dass jedes Szenario in unserem Paradoxon tatsächlich unterschiedliche Dinge verfolgt. Man beobachtet die Größe der Menge bei jedem Schritt und extrapoliert dann in die Zukunft. Die zweite Methode verfolgt das Schicksal einzelner Bälle, und die dritte Methode verändert die Art und Weise, wie wir Dinge gruppieren, um zu einem völlig anderen Ergebnis zu gelangen. In Wahrheit können wir keine Antwort darauf geben, was nach unendlich vielen Schritten passiert, weil es überhaupt keinen letzten Schritt gibt. Zu fragen, was sich mittags in der Vase befindet, ist so, als würde man fragen, was nördlich des Nordpols liegt. Die Frage ist grammatikalisch korrekt, bezieht sich aber auf nichts Reales. Das Vasen-und-Kugeln-Paradoxon hat eigentlich keine Lösung, denn die Tatsache, dass es viele Lösungen gibt, ist die Lösung. Das ist die wahre Natur der Unendlichkeit . Keine besonders große Zahl, nicht die Zahl am Ende des Zahlenstrahls. Ich habe gelernt, es als eine Richtung, einen Prozess zu betrachten, etwas, dem man sich ewig nähern kann, ohne jemals anzukommen. Behandle die Unendlichkeit wie eine Zahl, und sie wird dich täuschen. Die Mathematik kann beschreiben, was bei jedem einzelnen Schritt geschieht. Es ist eine wunderbare Maschine, die unser Gehirn bis an seine Grenzen bringen kann und uns dann zeigt, dass diese Grenzen gar nicht existieren . Bleibt neugierig. Und vielen Dank an AnyDesk für die Unterstützung von PBS. AnyDesk wurde entwickelt, um einen schnellen und sicheren Fernzugriff zu ermöglichen, egal ob Sie von zu Hause aus arbeiten, unterwegs sind oder Systeme an mehreren Standorten verwalten. Mit AnyDesk können Sie direkt aus der Ferne auf Computer und Server zugreifen und so eine sichere Dateiübertragung ermöglichen, ohne auf Cloud-Speicher für Endverbraucher angewiesen zu sein . Und es findet keine unnötige Datenerfassung statt. Es ist leichtgewichtig und respektiert die Privatsphäre. Darüber hinaus basiert AnyDesk auf dem hauseigenen Codec DeskRT und läuft auf Servern, die die Erlang-Technologie nutzen. 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Tritt dieses Werkzeug nicht mitten in deine Angelstrecke.